冪為3和4的整變量非線性型的整數部分.pdf

萬方數據摘要 I 冪為 3 和 4 的整變量非線性型的整數部分 摘 要 丟番圖逼近是數論的一個重要分支 ,在丟番圖方程和超越理論等方面有著廣泛的應用 . 加性丟番圖不等式的研究已經成為丟番圖逼近的重要課題之一 ,引起人們的廣泛關注 . 1946 年 , Davenport 和 Heilbronn 最先開創了整變數的加性不等式的研究 . 借助于Hardy-Littlewood 方法證明了如果 12, , , s? ? ? 是非零的實數 , 不同一符號 , 比值不全為有理數 , 那么對于任意的正數 ? , 當 21ks??時 ,不等式 1s kjjj x??? ??有無窮多個正整數解 . 隨后 , Davenport, Baker, Brüdern,Cooker 等人做了一系列齊次和混合冪的研究 . 2010 年 Brüdern, Kawada 和 Wooley 在所有的 Dirichlet L 函數滿足黎曼猜想的條件下證明了當 8 13sk??時 1s kssi x?????????可以表示無窮多素數 . 本文是基于 Brüdern, Kawada 和 Wooley 文章考慮了 3 3 3 3 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? 形式的混合冪情形 . 利用 Davenport-Heilbronn 的圓法 ,計算了中心區間 ,余區間 ,以及平凡區間的估計 ,得出了 3 3 3 3 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ??? 可以表示無窮多素數 . 關鍵詞： Davenport-Heilbronn 圓法 ; 整變量 ; 丟番圖逼近 萬方數據華北水利水電大學碩士學位論文 II 萬方數據ABSTRACT III THE INTEGER PARTS OF A NONLINEAR FORM WITH MIXED POWERS 3 AND 4 ABSTRACT Diophantine approximation is an important branch of number theory, which is widely used in the diophantine equation and transcendence theory. The study of additive diophantine inequalities has been one of the important themes in Diophantine approximation and causes people’s widely attention. In 1946, Davenport and Heilbronn first began the study of additive diophantine equation over integers. By means of the method of Hardy-Littlewood,they proved that if 12, , , s? ? ? were non-zero real numbers, not all of the same sign, and not all in rational ratio, then for every 0?? the inequality 1s kjjj x??? ??has infinitely many solutions in natural numbers jx provided that 21ks??. Subsquently, Davenport ,Baker, Brüdern, Cooker et al made studies of the problem of homogeneous and mixed powers. In 2010, Brüdern, Kawada and Wooley proved that 1s kssi x?????????could represent infinitely prime for natural numbers jx provided that all Dirichlet L-functions satisfy the Riemann Hypothesis and 8 13sk??. This paper considers the problem of mixed powers in the form of 3 3 3 3 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ???. Using the Davenport-Heilbronn circle method, we compute the estimates of the neighborhood of the origin, the intermediate region and the trivial region, and obtain 3 3 3 3 41 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ??? can represent infinitely prime for natural numbers jx . 萬方數據華北水利水電大學碩士學位論文 IV KEY WORDS: Davenport-Heilbronn circle method ； Integer variables ； Diophantine approximation萬方數據目 錄 目 錄 摘 要 ........................................................................................................................................... I ABSTRACT ............................................................................................................................. III 1 緒論 ........................................................................................................................................ 1 1.1 研究背景 .................................................................................................................................................... 1 1.2 國內外研究現狀 ..................................................................................................................................... 2 1.3 研究內容 .................................................................................................................................................... 4 2 輔助引理及其證明 ................................................................................................................ 7 3 定理的證明 .......................................................................................................................... 13 3.1 證明梗概 ................................................................................................................................................. 13 3.2 中心區間上的積分 ............................................................................................................................. 14 3.3 余區間上的積分 .................................................................................................................................. 19 3.4 平凡區間上的積分 .............................................................................................................................. 23 4 結論與展望 ........................................................................................................................... 27 攻讀學位期間參加的科研項目及發表的學術論 文 .............................................................. 29 致 謝 ........................................................................................................................................ 31 參考文獻 .................................................................................................................................. 33 萬方數據華北水利水電大學碩士學位論文 萬方數據符號說明 符號說明 p 素數 521 ,,, ??? ? 非零實數 jxk, 自然數 ? 充分小的正數 ? 任意小的正數 )(xe )2exp( ix? ][x 不超過 x 的最大整數 X 很大的實數 N 很大的正整數 L Nlog ? 中心區間 m 余區間 ? 平 凡區間 3~XN 3231 XCNXC ?? , 21,CC 為絕對常數 ? ? ? ?)(xgOxf ? ? ? ? ?xCgxf ? , C 為絕對常數 ? ? ? ?xgxf ?? ? ? ? ?)(xgOxf ? ? ? ? ?)(xgoxf ? ? ?? ? 0lim ??? xgxfx萬方數據華北水利水電大學碩士學位論文 萬方數據1 緒論 1 1 緒論 1.1 研究背景 數論是數學中的一個古老分支 . 數論就是一門研究整數性質的學科 , 利用整數的一些基本性質 , 探索有趣的數學規律 , 吸引了古往今來許多數學家的不斷探索 . 在我國古代 , 許多著名的數學著作中都有記載有數論的相關內容 , 如中國剩余定理 、 勾股數組 、韓信點兵問題等 . 在整數性質的研究中 ,算術基本定理的出現深刻揭示了正整數和素數的重要關系 , 深入研究整數的性質就轉化為對素數性 質的研究 . 18 世紀 , 德國數學家高斯撰寫了《算術探討》一書 ,開創了現代數論的新紀元 . 在我國近代 , 數論也是發展最早的數學分支之一 , 我國在解析數論 、 丟番圖方程和一致分布等方面有著重要的貢獻 ,主要包括了華羅庚教授的三角和估計和堆壘素數論 ,陳景潤教授的“ 1+2”等等 . 隨著數學其他分支的發展 , 研究數論的方法也在不斷發展 , 形成了初等數論 、 解析數論 、 代數數論 、幾何數論 、 計算數論 、 超越數論和組合數論等不同的分支 . 數論在數學中具有獨特的地位 , 高斯曾經說過“數學是科學的皇后 , 數論是數學中的皇冠” . 歷史上遺 留下來的懸而未解的難題主要包括哥德巴赫猜想 、 費馬大定理 、 孿生素數問題以及完全數問題等 . 丟番圖逼近是數論的一個重要分支 , 主要研究實數 、 復數 、 代數數或超越數的有理逼近 . 數的有理逼近問題可以表述為求不等式的整數解問題 ,因此丟番圖逼近就是在整數范圍內求解不定方程或丟番圖方程的整數解問題 . 求整系數多變量代數方程的整數解的問題在遠古時代就已經產生 , 一直是數論中引人注目的課題 , 取得了豐富的成果 , 近代 ,代數幾何工具的出現 , 大大促進了這個分支的發展 . 1770 年華林在一次代數大會上作了如下推測：任意一個 自然數均可以表示為四個平方數之和 ,九個立方數之和 ,十九個四方數之和等等 . 華林問題是數論中研究的一個重要內容 ,也就是研究任意的一個正整數可以表示為幾個整數的方冪的和 ,求整數個數最小值的問題 . 1621 年 , Bachet 最先明確闡述了四平方數定理 ,費馬聲稱證明了這一結果只是到死也沒有揭露 . 直到 1770年 , 拉格朗日在歐拉前期的工作的基礎上 ,證明了這一定理 . 十九世紀 ,Hilbert 使用了一種基于代數恒等式的組合論證方法闡明了這個最小值的存在性 . 二 十 世 紀 以 來 , 華 林 問 題 取 得 了 一 系 列 進 展 , 歸 根 結 底 是 因 為 解 析 方 法即Hardy-Littlewood 方法的引入 . 解析方法的引入使得我們對于華林問題的研究轉化為求主區間的積分以及余區間上的積分即積分的計算問題 ,通過選取最小的 k 值使得主區間上積分的下界大于余區間上積分的上界 ,得到解的個數大于 0 即解決了華林問題的上界問題 . Hardy-Litttlewood 方法的引入不僅加快了華林問題的研究進度 , 而且還促進了其他一些數論問題的發展 . 比如丟番圖逼近中的加性丟番圖等式以及丟番圖不等式的研究 . 華林問題的一些變形中最自然的 一種形式就是加性丟番圖不等式 ,這種形式中最著名的一類問題就是關于如下形式值的分布 1 1 2 2 ,k k kssx x x? ? ?? ? ? 萬方數據